DOI: https://doi.org/10.18523/2617-70802201911-23

Обчислення оберненого вiдображення Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць

Yuri Hakopian

Анотація


Обернене вiдображення Мура–Пенроуза є найбiльш поширеним вiдображенням, що використовується для пошуку оберненої матрицi. Це вiдображення має численнi застосування як у теорiї матриць, так i в обчислювальнiй лiнiйнiй алгебрi. Вiдомо, що обернена матриця Мура–Пенроуза може бути отримана через сингулярний розклад. Найефективнiший з iснуючих алгоритмiв складається з двох крокiв. На першому кроцi, використовуючи вiдображення Хаусхолдера, початкова матриця зводиться до верхнього двудiагонального вигляду (алгоритм Голуба–Кахана). Другий крок вiдомий у науковiй лiтературi як алгоритм Голуба–Райнша. Ця iтерацiйна процедура за допомогою методу Гiвенса генерує послiдовнiсть двудiагональних матриць, яка збiгається до дiагонального вигляду. В такий спосiб отримується iтерацiйне наближення до сингулярного розкладу двудiагональної матрицi. Головною метою цiєї статтi є розробка методу, який можна розглядати як альтернативну замiну алгоритму Голуба–Райнша. За допомогою реалiзацiї запропонованого, було отримано два головнi результати. По-перше, виведено явнi формули для елементiв обернених матриць Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць. По-друге, використовуючи цi формули, побудовано скiнченний рекурсивний алгоритм, оптимальної обчислювальної складностi. Таким чином, запропоновано варiант обчислення оберненої матрицi Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць, що не використовує сингулярний розклад.

Ключові слова


псевдообернення Мура–Пенроуза; двудiагональна матриця; формула обернення; рекурсивний алгоритм

Повний текст:

PDF (English)

Посилання


A. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses. Theory and Applications, 2nd ed. (Springer, New York, 2003).

G. H. Golub and W. Kahan., “Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix”. SIAM J. Num. Anal., 2, 205–224. (1965)

G. H. Golub and C. Reinsch, “Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions”. Numer. Math. 14, 403–420, (1970).

G. H. Golub and Ch. F. van Loan, Matrix Computations, 3rd ed. (The John Hopkins University Press, 1996.) doi: https://doi.org/10.1007/bf02163027

J. W. Lewis, “Invertion of tridiagonal matrices”. Numer. Math., 38, 333–345 (1982).






Copyright (c) 2019 Yuri Hakopian

Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 4.0 International License.