DOI: https://doi.org/10.18523/2617-70802201941-45

Про наближенi розв’язки лiнiйних та нелiнiйних псевдодиференцiальних рiвнянь

Yaroslav Drin, Yuri Ushenko, Iryna Drin, Svitlana Drin

Анотація


Поняття фрактала є однiєю з основних парадигм сучасної теоретичної та експериментальної фiзики, радiофiзики та радiолокацiї, а дробове числення є математичною основою фрактальної фiзики, геотермальної енергiї та космiчної електродинамiки та iнших. Ми дослiджуємо розв’язнiсть задачi Кошi для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Рiвняння мiстить дробову похiдну за часовою змiнною типу Рiмана–Лiувiлля, визначену Капуто, та псевдодиференцiальний оператор, який дiє за просторовими змiнними i побудований за однорiдним, невiд’ємного порядку однорiдностi, негладким у початку координат символом, достатньо гладким за межами початку координат. Неоднорiднiсть рiвняння залежить вiд часової i просторових змiнних та допускає перетворення Лапласа за часовою змiнною. Початкова умова мiстить обмежену функцiю. Мета: показати, що метод гомотопiчної пертурбацiї HPTM (homotopy perturbation transform method) легко застосовувати до лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Довести розв’язностi та отримання формули для розв’язку у виглядi ряду задачi Кошi для вказаних лiнiйних та нелiнiйних рiвнянь дифузiї. Методи. Задача розв’язується методом НPTM, який поєднує перетворення Лапласа (Laplaсe transform) за часовою змiнною i метод гомотопiчної пертурбацiї (HPM – homotopy perturbation method). Пiсля перетворення Лапласа отримуємо iнтегральне рiвняння, розв’язок якого шукаємо у виглядi ряду за степенями введеного параметра з невiдомими коефiцiєнтами. Пiсля пiдстановки введеної формули для розв’язку у iнтегральне рiвняння прирiвнюємо вирази бiля однакових степенiв параметра i отримуємо формули для невiдомих коефiцiєнтiв. При розв’язуваннi нелiнiйного рiвняння використовується спецiальний полiномiал, який входить в коефiцiєнти розкладу нелiнiйної функцiї i дозволяє застосувати метод гомотопiчної пертурбацiї i для нелiнiйного неоднорiдного псевдодиференцiального рiвняння дифузiї. Результатом є розв’язок задачi Кошi для дослiджуваного рiвняння дифузiї, який подається у виглядi ряду, членами якого є знайденi функцiї з параметричного ряду. В цiй працi вперше доведена розв’язнiсть та отримана формула для розв’язку задачi Кошi у виглядi ряду для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї.

Ключові слова


перетворення Лапласа; гомотопiчний пертурбацiйний метод; фрактал, дробова похiдна за Капуто; псевдодиференцiальний оператор

Повний текст:

PDF (English)

Посилання


B. M. Slepchenko, J. C. Schaff and Y. S. Choi, “Numerical Approach to fast reaction in reaction-diffusion systems: application to buffered calcium waves in bistable models”, Journal of Computation Physics. 162, 186–189 (2000). doi: https://doi.org/10.1006/jcph.2000.6532

C. Vidal and A. Pascault, Non-equilibrium Dynamics in Chemical Systems (Wiley, New York, 1986).

J. D. Murray, Lectures of Non-Linear Differential Equation Model in Biology (Clarenden, Oxford, 1977).

R. Gorenflo, F. Mainardi, E. Scalas and M. Raberto, “Fractional calculus and continuous time finance. III”, The diffusion limit. Mathematical finance. Konstanz, 2000. Trends Math Birkhusser Basel, 171–180 (2001). doi: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8291-0_17

F. Mainardi, M. Raberto, R. Gorenflo and R. Scalas, Fractional calculus and continuous-time Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006). doi: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8291-0_17

M. Raberto, E. Scalas and F. Mainardi, “Waiting-times and returns in high frequency financial data: an empirical study”, Physica A. 314, 749–755 (2002). doi: https://doi.org/10.1016/s0378-4371(02)01048-8

D. A. Benson, S. Wheatcraft and M. M. Meerschaert, “Application of a fractional advection dispersion equatio”, Water Resource Research. 36, 1403–1412 (2000). doi: https://doi.org/10.1029/2000wr900031

M. A. Burke, P. K. Miani and J. D. Murray, “Suicide substrate reaction-diffusion equations varying the source”, JMA Journal Mathematical Applications in Medicine and Biology. 10, 97–114 (1993). doi: https://doi.org/10.1093/imammb/10.2.97

M. J. Grimson and G. C. Barker, “A continuum model for the growth of bacterial colonies on a surface”, Journal of Physics A: Mathematical General. 26, 5645–5654 (1993). doi: https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/21/006

R. Erban and S. J. Chapman, “Stochstic modelling of reaction diffusion processes: algorithms for bimolecular reactions”, Physical Biology. 6, 046001 (2009). doi: https://doi.org/10.1088/1478-3975/6/4/046001

B. Baeumer, M. Kovacs and M. Meerschaert, “Numerical solution for fractional reaction-diffusion equation”, Computers and Mathematics with Application. 55, 2212–2226 (2008). doi: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2007.11.012

V. Grafiychuk, B. Datsko and S. V. Meleshko, “Mathematical modelling of pattern formation in sub- and super- diffusive reaction diffusion systems, arxiv”, nilin. AO/06110005 v3 (2006).

V. Grafiychuk, B. Datsko and S. V. Meleshko, “Non-linear iscillations and stability domains in fractional reaction-diffusion systems, arxiv”, nilin. PS/0702013 v1 (2007).

B. I. Henry and S. I. Wearne. “Fractional reactiondiffusion”, Physica A. 276, 448–455 (2000).

N. A. Khan, N. Khan, A. Ara and M. Jamil, “Approximate analytical solutions of fractional reactiondiffusion equations”, Journal of King Saud University (Science). 24 (2), 111–118 (2012). doi: https://doi.org/10.1016/j.jksus.2010.07.021

K. Seki and M. Wojcik and Tachiya, “Fractional reactiondiffusion equation”, Journal of Chemical Physics. 119, 2165–2174 (2003).

A. Yildirim and S. A. Seser, “Analytical solution of nonlinear and non-linear space-time fractional reaction-diffusion equations”, International Journal of Chemical Reactor Engineering. 8, 1–21 (2010). doi: https://doi.org/10.2202/1542-6580.2359

J. S. Singh, D. Kumar and Syrhila S. Gupth, “Application of homotopy perturbation transform method to linear and non-linear space-time fractional reaction-diffusion equations”, The Journal of Mathematics and Computer Science, 1, 40–52 (2012). doi: https://doi.org/10.22436/jmcs.05.01.05

K. S. Miller and B. Ross, An introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations (Willey, New York, 1993).

M. Caputo, Elasticita e Dissapazione (Zani-chelti, Bologna, 1969).

A. A. Kilbas, H. M. Strivastava and J. J. Trujillo, Theory and applications of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

Ya. M. Drin, V. A. Ushenko, I. I. Drin and S. S. Drin, Representation of solutions for fractional kinetic equations with deviation time variable. The 14th International Conference on Correlation Optics “Correlation Optics’19”. doi: https://doi.org/10.1117/12.2304312

A. Chorbani, “Beyond Adomain’s polunomials: He’s polynomials”, Chaos Solutions, Fractals, 39, 1486–1492 (2009).

S. T. Mohyud-Din, M. A. Noor and K. I. Noor, “Travelling wave solutions of seventh-order generiles KdV equations”, Int J. Nonlin Sci. Num Sim. 10 (1) (2009). doi: https://doi.org/10.1515/ijnsns.2009.10.2.227

A. N. Kochubei, “Cauchy problem for evolution equations of fracrional order”, Differential Equations. 25 (8), 1359–1368 (1989).






Copyright (c) 2019 Yaroslav Drin, Yuri Ushenko, Iryna Drin, Svitlana Drin

Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 4.0 International License.