Симуляцiя стохастичних дифузiйних процесiв i процесiв з «ринковим» часом

Автор(и)

  • Kateryna Boluh Національний університет «Києво-Могилянська Академія»
  • Natalija Shchestyuk Національний університет «Києво-Могилянська Академія» https://orcid.org/0000-0002-7652-8157

DOI:

https://doi.org/10.18523/2617-70803202025-30

Ключові слова:

симуляцiя стохастичних процесiв, комп’ютерне моделювання, дифузiйнi моделi, процес iз фрактальним «ринковим» часом

Анотація

У фiнансовiй математицi випадковiсть є панiвним критерiєм, який визначає внутрiшнiй характер ринкiв. У цьому випадку стохастичнiсть, як i броунiвський рух, є не просто незначною корекцiєю, а головним наближенням до реального процесу. Тобто, ми можемо сказати, що наш свiт не є детермiнованим, його реальна природа стохастична. Комп’ютерне моделювання поведiнки складних стохастичних систем та випадкових процесiв є обов’язковим iнструментом для будь-якого фiнансового аналiтика, а iнодi i єдиним способом дослiдження цих систем.
Методи моделювання процесiв стохастичної дифузiї є предметом активних дослiджень в останнi десятилiття. Деякi з них можна знайти в працях У. В. Козаченко, Г. Деодатiса та iнших. В контекстi нашого дослiдження ми використовуємо iдеї В. Л. Степанова та Дж. Халла. Але в бiльшостi публiкацiй, присвячених моделюванню стохастичних процесiв, проблема комп’ютерного моделювання процесiв iз заданою граничною щiльнiстю ймовiрностi та з новим ринковим часом не вивчалася.
Метою роботи було побудувати iтерацiйну схему i здiйснити комп’ютерне моделювання деяких процесiв дифузiї з наперед заданою граничною щiльнiстю та процесу руху ризикованих активiв, як процесу узагальненої дифузiї з «ринковим» часом.
Для симуляцiї стохастичних процесiв було використано iтерацiйну схему:

xk+1 = xk + a(xk, tk) ∆t + b(xk, tk) √ (∆t) εk,,

де εk кожного разу нове згенероване з нормальним розподiлом випадкове число.
Далi дослiджено засоби мов програмування для генерування випадкових чисел (рiвномiрно-розподiлених, нормально розподiлених). Здiйснено моделювання (симуляцiю) стохастичних дифузiйних процесiв; розраховано похибки обчислень та прискорення збiжностi, схеми Ейлера та Мiлстейна. Як приклад ми моделюємо випадковий процес Орнштейна-Уленбека для рiзних параметрiв.
На наступному етапi було запропоновано iтерацiйну схему та змодельовано дифузiйнi процеси iз заданою функцiєю щiльностi граничного розподiлу, а саме з оберненим гамма-розподiлом. Ця iтерацiйна схема базується на статтi Бiббi. Заключним етапом стало моделювання цiн акцiй iз новим «ринковим» часом. У запропонованiй iтерацiйнiй схемi цiн на акцiї ми використовуємо моделювання ринкових приростiв часу як дифузiйнi процеси з заданим граничним гамма-оберненим розподiлом.

Біографії авторів

Kateryna Boluh, Національний університет «Києво-Могилянська Академія»

Випускниця магiстерської програми за спецiальнiстю «Прикладна математика» Нацiонального унiверситету «Києво-Могилянська академiя». Сфера наукових iнтересiв — симуляцiя випадкових процесiв, часовi ряди, аналiз даних.

Natalija Shchestyuk, Національний університет «Києво-Могилянська Академія»

Доцент кафедри математики Нацiонального унiверситету «Києво-Могилянська академiя». Сфера наукових iнтересiв — фiнансова математика, оцiнювання опцiонiв, оцiнки випадкових процесiв i полiв.

Посилання

S. S. Stepanov, Stochastic World: mathematical engineering (Springer, 2013).

J. S. Hull, Options, Futures and other Derivatives (Prentice Hall, 2011).

B. M. Bibly, M. I. Skowgaard and M. Sorensen, “Diffusiontype models with given marginal distribution and autocorrelation function”, Bernoulli. 11 (2), 191–200 (2005).

F. Casteli, N. Leonenko and N. Shchestyuk, “Student-like models for risky asset with dependence”, Stochastic Analysis and Applications. 35 (3), 452–464.

N. Yu. Shchestiuk, “Hamma-oberneni dyfuziini modeli tsinoutvorennia aktsii”, Zapysky NaUKMA. Ser. Fiz.- mat. nauky. 113, 23–27 (2012).

N. Yu. Shchestiuk i A. Farfur, “Spravedlyva tsina yevropeiskykh optsioniv dlia hama-obernenykh dyfuziinykh modelei tsinoutvorennia aktsii”, Zapysky NaUKMA. Ser. Fiz.-mat. nauky. 139, 30–33 (2013).

N. Yu. Shchestiuk, “Otsinka spravedlyvoi tsiny optsioniv v modyfikatsiiakh modeli Kheidi-Leonenka: matematychne ta kompiuterne modeliuvannia”, Kamianets-Podilskyi NU. Ser. Fiz.-mat. nauky. 11, 223–236 (2014).

N. Yu. Shchestiuk i Yu. Nazarenko, “Bezryzykovyi portfel dlia FAT modeli Stiudent typu dlia ryzykovanykh bazovykh aktyviv”, Zapysky NaUKMA. Ser. Fiz.-mat. nauky. 201, 12–17 (2017).

A. M. Shiryaev, Osnovy stohasticheskoy finansovoy matematiki (Fazis, Moskva, 1998), T. 1. Fakty. Modeli.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-02-24