Ǭ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення

Автор(и)

  • Mykola Pratsiovytyi НПУ імені М.П. Драгоманова, Україна https://orcid.org/0000-0001-6473-4204
  • Olha Bondarenko НПУ імені М.П.Драгоманова, Україна
  • Sofiia Ratushniak Інститут математики НАН України, Україна
  • Kateryna Franchuk НПУ імені М.П. Драгоманова, Україна

DOI:

https://doi.org/10.18523/2617-7080520229-18

Ключові слова:

Ǭ-зображення чисел, Ǭ-бінарні числа, Ǭ-унарні числа, канторівська система числення, циліндр, розмірність Гаусдорфа Безиковича, нормальна властивість числа, циліндрична похідна, сингулярна функція

Анотація

Роботу присвячено узагальненню канторівської системи числення, яка визначається послідовністю основ( sn), 1 < sn ∈ N і послідовністю алфавітів An = {0, 1, ..., sn − 1}:
[0; 1] ∋ x = ∞∑ n=1 αn / s1s2...sn, αn ∈ An,

яке назване Ǭ-зображенням. Воно визначається нескінченною матрицею ||qik||, де i ∈ Ai, k ∈ N, що має властивості
0 < qik < 1, mk ∑ i=0 qik = 1, k ∈ N, ∞∏ n=1 max i {qik} = 0,
а саме
[0; 1] ∋ x = ai11 + ∞∑ k=2 [aikk k−1 ∏ j=1 qij (x)j ] ≡ Δi1i2...ik..., where ainn = in−1 ∑ j=0 qjn, in ∈ An, n ∈ N.
У роботі розглянуто застосування вказаного зображення чисел у метричній теорії чисел, теорії розподілів випадкових величин, теорії локально складних функцій та фрактальному аналізі.
Вивчено тополого-метричну структуру множини C[Ǭ; Vn] = {x : x = Δα1...αn..., αn ∈ Vn ⊂ An}. Виведено формулу для обчислення її міри Лебега:
λ(C) = ∞∏ n=1 λ(Fn) / λ(Fn−1) = ∞∏ n=1 (1 − λ(Fn) / λ(Fn−1)),
де F0 = [0; 1], Fn - об'єднання Ǭ-циліндрів рангу n, серед внутрішніх точок яких є точки множини C, Fn ≡ Fn−1 \ Fn.
Знайдено критерій і деякі достатні умови нуль-мірності цієї множини. За додаткових умов на "матрицю" ||qik|| знайдено нормальну властивість Ǭ-зображення чисел (властивість, яку мають майже всі у розумінні міри Лебега числа). Отримані результати використано для встановлення лебегівської структури і типу розподілу випадкової величини, Ǭ-зображення якої є незалежними випадковими величинами. Доведено, що цифри Ǭ-зображення рівномірно розподіленої на [0; 1] випадкової величини є незалежними, і вказано їх розподіл.
Доведено, що при обчисленні фрактальної розмірності Гаусдорфа Безиковича підмножин відрізка [0; 1] можна обмежитись покриттями Ǭ-циліндрами: Δc1...cm = {x : x = Deltac1...cki1...in..., in ∈ ∈ Ak+n}, якщо потужності алфавітів обмежені, а елементи "матриці" ||qik|| відокремлені від нуля.
Для інферсора цифр Ǭ-зображення чисел, тобто функції, означеної рівністю I(x = = Δi1...in...) = Δ[m1−i1]...[mn−in]..., mn ≡ sn − 1 доведено неперервність, строгу монотонність, а для окремих випадків її сингулярність (рівність похідної нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега).

Біографії авторів

Mykola Pratsiovytyi, НПУ імені М.П. Драгоманова

Працьовитий Микола Вікторович - докт. фіз.-мат. наук, професор, декан факультету математики, інформатики та фізики НПУ імені М.П. Драгоманова. Сфера наукових інтересів: фрактальний аналіз, фрактальна геометрія, конструктивна теорія локально складних функцій.

Olha Bondarenko, НПУ імені М.П.Драгоманова

Бондаренко Ольга Ігорівна - викладачка кафедри методології та методики навчання фізико-математичних дисциплін вищої школи факультету математики, інформатики та фізики НПУ імені М.П.Драгоманова. Сфера наукових інтересів: теорія чисел, фрактальний аналіз, фрактальна геометрія.

Sofiia Ratushniak, Інститут математики НАН України

Ратушняк Софія Петрівна - докт. філософії, молодший науковий співробітник Інституту математики НАН України. Сфера наукових інтересів: фрактальний аналіз, фрактальна геометрія, конструктивна теорія локально складних функцій.

Kateryna Franchuk, НПУ імені М.П. Драгоманова

Франчук Катерина Вікторівна - студентка другого року навчання магістерської програми за спеціальністю 111 Математика (фінансова математика) Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова. Сфера наукових інтересів: теорія чисел, конструктивна теорія локально складних функцій.

Посилання

  1. M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, N. V. Dyvliash and S. P. Ratushniak, "Inversor of digits of Q∗2-representation of numbers", Matematychni Studii. 55 (1), 37-43 (2021).
  2. M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, I. M. Lysenko and S. P. Ratushniak, "Continued A2-fractions and singular functions", Matematychni Studii. 58 (1), 3-12 (2022).
  3. G. Cantor, "Ueber die einfachen Zahlensysteme", Z. Mathl. Phys. 14, 121-128 (1869).
  4. O. I. Bondarenko, N. M. Vasylenko and M. V. Pratsovytyi, "Kantorivska dviikovo-bonachchiieva systema chyslennia u zadachakh teorii funktsii", Zbirnyk prats In-tu matematyky NAN Ukrainy. 16 (3), 173-185 (2019).
  5. N. V. Pracevityj, "Raspredelenija sluchajnyh velichin s nezavisimymi Q-simvolami", in: Asimptoticheskie i prikladnye zadachi sluchajnyh jevoljucij (Kiev: In-t matematiki AN USSR, 1990), pp. 92-101.
  6. M. V. Pratsovytyi and O. L. Leshchynskyi, "Vlastyvosti vypadkovykh velychyn, zadanykh rozpodilamy elementiv svoho eQ∞-zobrazhennia", Teor. ymov. ta matem. stat. 57, 134-139 (1997).
  7. M. V. Pratsovytyi, "Poliosnovne eQ-predstavlennia i fraktalni matematychni obiekty, z nym poviazani", in: Fraktalnyi analiz ta sumizhni pytannia: zb. nauk. pr. In-t matematyky NAN Ukrainy, NPU im. M. P. Drahomanova, 2 (Kyiv, 1998), pp. 14-35.
  8. M. V. Pratsovytyi, Dvosymvolni systemy koduvannia diisnykh chysel ta yikh zastosuvannia (Kyiv: Naukova dumka, 2022).
  9. M. V. Pratsovytyi and S. V. Skrypnyk, "Q2-zobrazhennia drobovoi chastyny diisnoho chysla ta inversor yoho tsyfr", Naukovyi chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriia 1. Fizyko-matematychni nauky. 15, 134-143 (2013).
  10. M. V. Pratsovytyi, Fraktalnyi pidkhid u doslidzhenniakh synhuliarnykh rozpodiliv (Kyiv: NPU imeni M. P. Drahomanova, 1998).
  11. Yu. V. Ralko, "Zobrazhennia chysel riadamy Kantora ta deiaki yoho zastosuvannia", Naukovyi chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriia 1. Fizykomatematychni nauky, 10, 132-140 (2009).
  12. A. F. Turbin and N. V. Pracevityj, Fraktal'nye mnozhestva, funkcii, raspredelenija (Kiev: Nauk. dumka, 1992).
  13. K. V. Franchuk, "Pro eQ-zobrazhennia diisnykh chysel ta deiaki yikh zastsuvannia", Studentski zykomatematychni etiudy. 22, 49-56 (2022).

##submission.downloads##

Опубліковано

2022-12-28

Як цитувати

[1]
Pratsiovytyi, M., Bondarenko, O., Ratushniak, S. і Franchuk, K. 2022. Ǭ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення. Могилянський математичний журнал. 5, (Груд 2022), 9–18. DOI:https://doi.org/10.18523/2617-7080520229-18.