Ǭ-зображення дiйсних чисел як узагальнення канторiвських систем числення

Автор(и)

  • Mykola Pratsiovytyi НПУ імені М.П. Драгоманова, Ukraine https://orcid.org/0000-0001-6473-4204
  • Olha Bondarenko НПУ імені М.П.Драгоманова, Ukraine
  • Sofiia Ratushniak Інститут математики НАН України, Ukraine
  • Kateryna Franchuk НПУ імені М.П. Драгоманова, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.18523/2617-7080520229-18

Ключові слова:

Ǭ-зображення чисел, Ǭ-бінарні числа, Ǭ-унарні числа, канторівська система числення, циліндр, розмірність Гаусдорфа Безиковича, нормальна властивість числа, циліндрична похідна, сингулярна функція

Анотація

Роботу присвячено узагальненню канторівської системи числення, яка визначається послідовністю основ( sn), 1 < sn ∈ N і послідовністю алфавітів An = {0, 1, ..., sn − 1}:
[0; 1] ∋ x = ∞∑ n=1 αn / s1s2...sn, αn ∈ An,

яке назване Ǭ-зображенням. Воно визначається нескінченною матрицею ||qik||, де i ∈ Ai, k ∈ N, що має властивості
0 < qik < 1, mk ∑ i=0 qik = 1, k ∈ N, ∞∏ n=1 max i {qik} = 0,
а саме
[0; 1] ∋ x = ai11 + ∞∑ k=2 [aikk k−1 ∏ j=1 qij (x)j ] ≡ Δi1i2...ik..., where ainn = in−1 ∑ j=0 qjn, in ∈ An, n ∈ N.
У роботі розглянуто застосування вказаного зображення чисел у метричній теорії чисел, теорії розподілів випадкових величин, теорії локально складних функцій та фрактальному аналізі.
Вивчено тополого-метричну структуру множини C[Ǭ; Vn] = {x : x = Δα1...αn..., αn ∈ Vn ⊂ An}. Виведено формулу для обчислення її міри Лебега:
λ(C) = ∞∏ n=1 λ(Fn) / λ(Fn−1) = ∞∏ n=1 (1 − λ(Fn) / λ(Fn−1)),
де F0 = [0; 1], Fn - об'єднання Ǭ-циліндрів рангу n, серед внутрішніх точок яких є точки множини C, Fn ≡ Fn−1 \ Fn.
Знайдено критерій і деякі достатні умови нуль-мірності цієї множини. За додаткових умов на "матрицю" ||qik|| знайдено нормальну властивість Ǭ-зображення чисел (властивість, яку мають майже всі у розумінні міри Лебега числа). Отримані результати використано для встановлення лебегівської структури і типу розподілу випадкової величини, Ǭ-зображення якої є незалежними випадковими величинами. Доведено, що цифри Ǭ-зображення рівномірно розподіленої на [0; 1] випадкової величини є незалежними, і вказано їх розподіл.
Доведено, що при обчисленні фрактальної розмірності Гаусдорфа Безиковича підмножин відрізка [0; 1] можна обмежитись покриттями Ǭ-циліндрами: Δc1...cm = {x : x = Deltac1...cki1...in..., in ∈ ∈ Ak+n}, якщо потужності алфавітів обмежені, а елементи "матриці" ||qik|| відокремлені від нуля.
Для інферсора цифр Ǭ-зображення чисел, тобто функції, означеної рівністю I(x = = Δi1...in...) = Δ[m1−i1]...[mn−in]..., mn ≡ sn − 1 доведено неперервність, строгу монотонність, а для окремих випадків її сингулярність (рівність похідної нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега).

Біографії авторів

Mykola Pratsiovytyi, НПУ імені М.П. Драгоманова

Працьовитий Микола Вікторович - докт. фіз.-мат. наук, професор, декан факультету математики, інформатики та фізики НПУ імені М.П. Драгоманова. Сфера наукових інтересів: фрактальний аналіз, фрактальна геометрія, конструктивна теорія локально складних функцій.

Olha Bondarenko, НПУ імені М.П.Драгоманова

Бондаренко Ольга Ігорівна - викладачка кафедри методології та методики навчання фізико-математичних дисциплін вищої школи факультету математики, інформатики та фізики НПУ імені М.П.Драгоманова. Сфера наукових інтересів: теорія чисел, фрактальний аналіз, фрактальна геометрія.

Sofiia Ratushniak, Інститут математики НАН України

Ратушняк Софія Петрівна - докт. філософії, молодший науковий співробітник Інституту математики НАН України. Сфера наукових інтересів: фрактальний аналіз, фрактальна геометрія, конструктивна теорія локально складних функцій.

Kateryna Franchuk, НПУ імені М.П. Драгоманова

Франчук Катерина Вікторівна - студентка другого року навчання магістерської програми за спеціальністю 111 Математика (фінансова математика) Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова. Сфера наукових інтересів: теорія чисел, конструктивна теорія локально складних функцій.

Посилання

M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, N. V. Dyvliash and S. P. Ratushniak, "Inversor of digits of Q∗2-representation of numbers", Matematychni Studii. 55 (1), 37-43 (2021).

M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, I. M. Lysenko and S. P. Ratushniak, "Continued A2-fractions and singular functions", Matematychni Studii. 58 (1), 3-12 (2022).

G. Cantor, "Ueber die einfachen Zahlensysteme", Z. Mathl. Phys. 14, 121-128 (1869).

O. I. Bondarenko, N. M. Vasylenko and M. V. Pratsovytyi, "Kantorivska dviikovo-bonachchiieva systema chyslennia u zadachakh teorii funktsii", Zbirnyk prats In-tu matematyky NAN Ukrainy. 16 (3), 173-185 (2019).

N. V. Pracevityj, "Raspredelenija sluchajnyh velichin s nezavisimymi Q-simvolami", in: Asimptoticheskie i prikladnye zadachi sluchajnyh jevoljucij (Kiev: In-t matematiki AN USSR, 1990), pp. 92-101.

M. V. Pratsovytyi and O. L. Leshchynskyi, "Vlastyvosti vypadkovykh velychyn, zadanykh rozpodilamy elementiv svoho eQ∞-zobrazhennia", Teor. ymov. ta matem. stat. 57, 134-139 (1997).

M. V. Pratsovytyi, "Poliosnovne eQ-predstavlennia i fraktalni matematychni obiekty, z nym poviazani", in: Fraktalnyi analiz ta sumizhni pytannia: zb. nauk. pr. In-t matematyky NAN Ukrainy, NPU im. M. P. Drahomanova, 2 (Kyiv, 1998), pp. 14-35.

M. V. Pratsovytyi, Dvosymvolni systemy koduvannia diisnykh chysel ta yikh zastosuvannia (Kyiv: Naukova dumka, 2022).

M. V. Pratsovytyi and S. V. Skrypnyk, "Q2-zobrazhennia drobovoi chastyny diisnoho chysla ta inversor yoho tsyfr", Naukovyi chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriia 1. Fizyko-matematychni nauky. 15, 134-143 (2013).

M. V. Pratsovytyi, Fraktalnyi pidkhid u doslidzhenniakh synhuliarnykh rozpodiliv (Kyiv: NPU imeni M. P. Drahomanova, 1998).

Yu. V. Ralko, "Zobrazhennia chysel riadamy Kantora ta deiaki yoho zastosuvannia", Naukovyi chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriia 1. Fizykomatematychni nauky, 10, 132-140 (2009).

A. F. Turbin and N. V. Pracevityj, Fraktal'nye mnozhestva, funkcii, raspredelenija (Kiev: Nauk. dumka, 1992).

K. V. Franchuk, "Pro eQ-zobrazhennia diisnykh chysel ta deiaki yikh zastsuvannia", Studentski zykomatematychni etiudy. 22, 49-56 (2022).

##submission.downloads##

Опубліковано

2022-12-28