Могилянський математичний журнал

Зміст

Contents Contents — 2024-04-18

Титулка та реквізити Т. 6 (2023)

Title & Publication details — 2024-04-18

Титулка та реквізити Т. 6 (2023)

Властивостi графа перетину iдеалiв кiльця Zn

Єлiзавета Олександрiвна Утенко — 2024-04-18

У цiй роботi ми вивчаємо властивостi графа перетину iдеалiв кiльця Zn. Граф перетину iдеалiв є простим графом, в якому вершинами є ненульовi iдеали кiльця, i двi вершини (iдеали) сумiжнi, якщо їхнiй перетин також є ненульовим iдеалом кiльця. Цi графи можуть бути визначенi як схема перетину класiв еквiвалентностi (див.:[1]).
У цiй статтi ми доводимо, що триаметр графа дорiвнює шести або менше. Ми також описуємо клiку цього графа, а саме максимальну клiку графа перетину iдеалiв кiльця Zn. Також ми доводимо, що хроматичне число цього графа дорiвнює сумi кiлькостi елементiв у класi нульової еквiвалентностi та класi з найбiльшою кiлькiстю елементiв. Крiм того, ми демонструємо, що ексцентриситет дорiвнює 1 або дорiвнює 2, i наприкiнцi ми описуємо центральнi вершини графа перетину iдеалiв кiльця Zn.

Прогностична модель для продукту без iсторiї з використанням LightGBM

Анастасiя Сергiївна Крючкова — 2024-04-18

Статтю присвячено розробцi прогнозної моделi цiноутворення за допомогою LightGBM. Також метою було адаптування методу LightGBM для задач регресiї та, особливо, задач прогнозування цiни продукту без iсторiї, тобто з холодним стартом.
Стаття мiстить необхiднi поняття для розумiння принципiв роботи методiв з посиленим градiєнтом, таких як дерева рiшень, бустинг, випадковi лiси, градiєнтний спуск, GBM (машина посилення градiєнта), GBDT (дерева рiшень градiєнтного пiдвищення). У статтi наведено iнформацiю про алгоритми, якi використовуються для пошуку точок розбиття, з акцентом на алгоритм на основi гiстограм.
LightGBM покращує алгоритм градiєнтних методiв, запроваджуючи автоматичний механiзм вибору функцiй, придiляючи особливу увагу точкам посилення, що характеризуються бiльш вагомими градiєнтами. Це може призвести до значно швидшого навчання та покращення ефективностi передбачення. Описано методи односторонньої вибiрки на основi градiєнта (GOSS) i ексклюзивного пакетування функцiй (EFB), якi використовують для вдосконалення LightGBM.
Робота мiстить експериментальне дослiдження. Щоб перевiрити LightGBM, було взято реальний набiр даних одного японського ринку C2C iз сайту Kaggle. У практичнiй частинi було проведено порiвняння продуктивностi LightGBM i XGBoost (Extreme Gradient Boosting Machine). У результатi було виявлено лише незначне пiдвищення в оцiнках продуктивностi (RMSE, MAE, R-squard) LightGBM порiвняно з XGBoost, однак iснує помiтний контраст у часовiй ефективностi в процедурi навчання. LightGBM демонструє майже втричi бiльшу швидкiсть порiвняно з XGBoost, що робить його кращим вибором для роботи з великими наборами даних.
Цю статтю присвячено розробцi та впровадженню моделей машинного навчання для цiноутворення продуктiв за допомогою LightGBM. Включення автоматичного вибору функцiй, зосередженiсть на прикладах iз високим градiєнтом i таких методах, як GOSS i EFB, демонструють унiверсальнiсть i ефективнiсть моделi. Такi прогнознi моделi допоможуть компанiям покращити свої моделi цiноутворення на новий товар. Швидкiсть отримання вiдповiдного прогнозу для кожного елемента бази є вкрай актуальною в час швидкого накопичення даних.

Моделювання очiкуваних кредитних збиткiв

Свiтлана Сергiївна Дрiнь — 2024-04-18

У цiй статтi запропоновано метод моделювання ймовiрностi дефолту, описано статистичну оцiнку моделi та представлено модель алгоритму програмної реалiзацiї. Алгоритм автоматично обирає з групи регресiйних моделей, де моделями є як лiнiйна регресiя, так i рiзнi модифiкацiї напiвлогарифмiчних моделей та лаговi моделi для макрофакторiв Xi,t,Xi,t-1, ...,Xi,t-T
Cтатистичний аналiз проводиться за використання коефiцiєнта детермiнацiї R-квадрат, p-value, VIF (variance inflation factor).
Актуальнiсть цiєї теми визначається необхiднiстю дотримання банкiвськими органiзацiями мiжнародних стандартiв, таких як Мiжнароднi стандарти фiнансової звiтностi (МСФЗ 9) та Угода про банкiвський нагляд та капiтал (Базель 3). Цi стандарти визначають вимоги щодо оцiнки кредитного ризику та вимоги до розмiрiв капiталу. Дотримання цих стандартiв є важливим не тiльки для забезпечення стабiльностi та надiйностi фiнансової системи, а й для збереження довiри клiєнтiв та iнвесторiв. Вiдповiднiсть мiжнародним нормам також робить банки конкурентоспроможними на свiтовому ринку та сприяє припливу iнвестицiй та розвитку фiнансового сектору.
МСФЗ 9 може бути iнтерпретований рiзними моделями. В статтi запропоновано пiдхiд щодо вибору вiдповiдної моделi для прогнозування ймовiрностi дефолту. Описана методика вибору моделi дає змогу банкам вибрати оптимальну модель оцiнки прогнозу дефолту в рамках наведеного стандарту. Це сприяє бiльш точнiй та надiйнiй оцiнцi кредитного ризику, вiдповiдно регуляторним вимогам, що забезпечить банки засобами для кращого прогнозування та управлiння фiнансовими ресурсами, а також зменшення ризикiв.
Методологiя вибору моделi економить значну кiлькiсть часу та ресурсiв, оскiльки, пошук оптимальної моделi вiдбувається автоматично. Це дає змогу швидше реагувати на змiни в економiчному середовищi, вдосконалювати стратегiї прийняття рiшення та управляти кредитними ризиками, що має велике значення для фiнансових установ у конкурентному середовищi.
В Українi в цей час триває вiйна, i прогнозування за допомогою чинних методiв стає складним завданням через непередбачуванi стресовi ситуацiї для економiки. У таких умовах стандартнi моделi можуть бути недостатньо адаптованими для врахування пiдвищеного ризику та нестабiльностi. Запропонований пiдхiд допоможе знайти бiльш консервативнi моделi прогнозування, якi можуть бути корисними в умовах нестабiльних перiодiв i вiйни.

Функцiя балансу, що генерується обмежувальними умовами

Денис Iванович Морозов — 2024-04-18

У цiй статтi проаналiзовано природнi обмеження, що визначають формування цiнової функцiї, яка описує взаємодiю мiж двома ринками. Предметом дослiдження є не лише виявлення цих обмежень, а й отримання явного вигляду вказаної функцiї.
У статтi визначено ключовi фактори, якi враховують при побудовi цiнової функцiї. В результатi аналiзу цих обмежень та їх впливу на ринкову взаємодiю надано формулу цiнової функцiї.
Такий пiдхiд не лише дає змогу розкрити сутнiсть природних обмежень у формуваннi цiнової функцiї, а й надає контекстну базу для перемовин, що формують справедливу цiну обмiну для процесу взаємодiї двох ринкiв. Це надає теоретичне обґрунтування для моделювання та розв’язку подiбних задач, що виникають пiд час практичної економiчної дiяльностi.
Розглянуто двi економiки, Економiку 1 та Економiку 2, якi виробляють товари X та Y iз лiнiйними графiками виробничих можливостей. Вартiсть виробництва одиницi товару X вiдносно Y позначається R1 для Економiки 1 i R2 для Економiки 2. Обмiн мiж економiками вiдбувається на ринку, де можливий обмiн Δx одиниць X на Δy = Rmarket · Δx одиниць Y та навпаки.
Якщо R1 менше нiж R2, то Економiка 1 спецiалiзується на виробництвi X, а Економiка 2 — Y, що сприяє взаємовигiднiй торгiвлi залишками. Для взаємовигiдного обмiну цiною на ринку Rmarket необхiдно та достатньо R1 ≤ Rmarket ≤ R2.
У статтi також розглянуто концепцiю справедливої цiни обмiну, вказано на умови симетрiї, взаємностi та iнварiантностi масштабу для ї ї визнання. Зокрема, зазначено, що єдиним розв’язком, який вiдповiдає цим умовам, є f(R1,R2) = √ R1 · R2.
У контекстi збалансованого обмiну економiки одержують рiвний прибуток за одиницю отрима- ного товару, i збалансована цiна обмiну Rmarket[balance] визначається як Rmarket = √ R1 · R2, що є справедливою цiною, для якої виконуються вищезгаданi умови симетрiї, взаємностi та iнварiантностi масштабу.
У наведеному у статтi прикладi з R1 = 2 та R2 = 8 розглянуто взаємовигiдний iнтервал для Rmarket та обчислено збалансовану та справедливу цiну обмiну.

Похiднi функцiї вiрогiдностi для лiнiйної змiшаної моделi з припущенням про складну симетрiю

Софiя Олегiвна Лукашевич — 2024-04-18

У роботi дослiджено властивостi лiнiйних змiшаних моделей iз простими випадковими ефектами виду
yi = Xiβ + ZiYi + εi, i = 1, . . . ,M, Yi ∼ N(0, Ψ), εi ∼ Т(0, σ2I),
де β – p-вимiрний вектор фiксованих ефектiв, Yi – q-вимiрний вектор випадкових ефектiв, Xi та Zi – вiдомi матрицi регресорiв розмiрностей ni x p i ni x q, а εi – вектори внутрiшньогрупових похибок зi сферичним гауссiвським розподiлом. Припускаючи складну симетрiю кореляцiйної структури залежностi мiж внутрiшньогруповими похибками, отримано аналiтичнi формули для перших двох часткових похiдних за кореляцiйними параметрами моделi.

Проблеми iнтерполяцiї для випадкових полiв на килимi Серпiнського

Вiкторiя Миколаївна Бойченко — 2024-04-18

Прогнозування випадкових процесiв та оцiнка випадкових полiв рiзної природи стає все бiльш поширеним напрямом дослiджень серед науковцiв рiзних спецiальностей. Проте аналiз статей щодо рiзних проблем оцiнювання показує, що динамiчний пiдхiд до iтерацiйної та рекурсивної iнтерполяцiї випадкових полiв на фракталi все ще є вiдкритою сферою дослiдження. Є багато робiт, пов’язаних з iнтерполяцiєю стацiонарних послiдовностей, оцiнкою випадкових полiв, навiть на перфорованих площинах, але виникають новi виклики для дослiдження на бiльш складнiй структурi, як фрактал, що може бути бiльш корисним у застосуваннях в окремих галузях промисловостi. Наприклад, було розроблено фрактальну антену мобiльного телефону та WiFi на основi перших кiлькох iтерацiй килима Серпiнського. У цiй статтi ми представляємо динамiчну процедуру для оцiнювання випадкових полiв на килимi Серпiнського на основi використання вiдомої спектральної щiльностi та розрахунку спектральної характеристики, що дозволяє оцiнити оптимальний лiнiйний функцiонал вiд пропущених точок випадкових полiв для кожної iтерацiї. Спочатку ми представляємо пiдхiд Колмогорова для забезпечення базового розумiння iдеї, що використовується в задачах iнтерполяцiї одного чи набору пропущених значень стацiонарних послiдовностей. Пiсля цього поширюємо цей пiдхiд на випадковi поля, що дає нам змогу надалi вивести формули для динамiчного оцiнювання випадкових полiв на перших кiлькох iтерацiях килима Серпiнського. Ми описуємо чисельнi результати початкових крокiв iтерацiї та демонструємо повторювану закономiрнiсть як у матрицi коефiцiєнтiв ряду Фур’є спектральної щiльностi, так i в формулах оптимальної оцiнки лiнiйного функцiоналу вiд випадкових полiв. Таким чином, ця закономiрнiсть забезпечує залежнiсть мiж формулами рiзних початкових розмiрiв поля, а також можливе узагальнення рiшення для N-крокiв у килимi Серпiнського. Ми очiкуємо, що дослiдження середньоквадратичної помилки цiєї оцiнки може бути використано для визначення можливого кроку iтерацiї, коли подальша оцiнка стає нерелевантною, що дозволить нам зменшити вартiсть обчислень.

Центральна гранична теорема для кiлькостi рекордiв у Fα-схемi

Олександр Валерiйович Колеснiк — 2024-04-18

У цiй роботi розглянуто твердження, якi стосуються виконання центральної граничної теореми (ЦГТ) для кiлькостi рекордiв у послiдовностi незалежних випадкових величин в рамках Fα-схеми рекордiв. Наведено методику знаходження точних асимптотичних виразiв для математичного сподiвання та дисперсiї, якими можна замiнити справжнi характеристики у ЦГТ.
Розглянуто конкретний приклад степенового зростання експонент Fα-схеми i побудовано ЦГТ лише у термiнах моменту спостереження та степенi зростання.
У статтi є 4 теореми з повним доведенням. Теорема 1 пов’язує математичне сподiвання та дисперсiю з накопиченою iнтенсивнiстю Fα-схеми. Теорема 2 встановлює виконання ЦГТ у загальному виглядi, а теорема 4 – для конкретного випадку.

Слабконелiнiйнi моделi поширення хвиль у двошарових гiдродинамiчних системах

Ольга Валентинiвна Авраменко — 2024-04-18

У роботi розглянуто тривимiрнi моделi поширення стохастичних внутрiшнiх хвиль у гiдродинамiчних системах «пiвпростiр – пiвпростiр», «пiвпростiр – шар з кришкою», «шар з твердим дном – шар з кришкою». При побудовi моделей шари вважаються iдеальними рiдинами, роздiленими поверхнею контакту. Основна мета моделювання – отримати динамiчне рiвняння вiдносно стохастичної амплiтуди поверхневих хвиль. Постановки задач для вказаних моделей наведено в безрозмiрному виглядi. Для контролю внеску нелiнiйних доданкiв введено безрозмiрний нечисловий параметр α. Математична постановка задачi для вказаних моделей мiстить рiвняння руху, кiнематичну та динамiчну умови на поверхнi контакту, умови затухання на нескiнченностi та умову непротiкання на днi та кришцi. Для рiзних моделей вiдрiзняються граничнi умови, якi визначають загальний вид розв’язкiв. Розв’язання проводиться в термiнах iнтегралiв Фурьє–Стилтьеса. Отримано динамiчне рiвняння вiдносно стохастичної амплiтуди внутрiшнiх хвиль
-W(q)C(q) = α ∫ f2(q, q1)C(q - q1)C(q1)dq1 + α2∫∫f3(q,q1,q2)C(q - q1 - q2)C(q1)C(q2)dq1dq2,
де k = (kx, ky) – хвильовий вектор, k = |k|, θ = kxx + kyy − tω – фаза , A(q), B(q), C(q) - стохастичнi амплiтуди вiдповiдних полiв, якi залежать вiд q = (k, ω). Функцiї W(q), f2(q, q1) та f3(q, q1, q2) отриманi для кожної з трьох моделей. Пiсля усереднення по ансамблю амплiтуд динамiчне рiвняння набуває вигляду
W(q)S(q) = ∫ G(q, q1) / W(q) S11(q1)S11(q − q1)dq1 − S11(q) ∫ F(q, q1)S11(q1)dq1,
де G(q, q1) = 2(f2(q, q1))2, F(q, q1) = −4(f2(q,q1))2 / W(q−q1) − f3(q, q1,−q1) − 2f3(q, q, q1),
Функцiї f2(q, q1) та f3(q, q1, q2) описують дво- i трихвильовi взаємодiї у гiдродинамiчному середовищi. Виявлено внесок дисперсiї у хвильовий рух. Розглянуто граничнi випадки для дослiджуваних моделей, в яких вони переходять одна в одну. Зокрема, в моделi «пiвпростiр – пiвпростiр» при прямуваннi щiльностi верхнього шару до нуля (фактично за вiдсутностi верхнього шару) двохвильовi взаємодiї якiсно збiгаються з випадком моделi поверхневих хвиль на поверхнi контакту пiвпростору. При цьому для трихвильових взаємодiй виявлено новий доданок.

Відомості про авторів Т. 6 (2023)

Notes about authors — 2024-04-18

Відомості про авторів Т. 6 (2023)