Обчислення оберненого вiдображення Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць
DOI:
https://doi.org/10.18523/2617-70802201911-23Ключові слова:
псевдообернення Мура–Пенроуза, двудiагональна матриця, формула обернення, рекурсивний алгоритмАнотація
Обернене вiдображення Мура–Пенроуза є найбiльш поширеним вiдображенням, що використовується для пошуку оберненої матрицi. Це вiдображення має численнi застосування як у теорiї матриць, так i в обчислювальнiй лiнiйнiй алгебрi. Вiдомо, що обернена матриця Мура–Пенроуза може бути отримана через сингулярний розклад. Найефективнiший з iснуючих алгоритмiв складається з двох крокiв. На першому кроцi, використовуючи вiдображення Хаусхолдера, початкова матриця зводиться до верхнього двудiагонального вигляду (алгоритм Голуба–Кахана). Другий крок вiдомий у науковiй лiтературi як алгоритм Голуба–Райнша. Ця iтерацiйна процедура за допомогою методу Гiвенса генерує послiдовнiсть двудiагональних матриць, яка збiгається до дiагонального вигляду. В такий спосiб отримується iтерацiйне наближення до сингулярного розкладу двудiагональної матрицi. Головною метою цiєї статтi є розробка методу, який можна розглядати як альтернативну замiну алгоритму Голуба–Райнша. За допомогою реалiзацiї запропонованого, було отримано два головнi результати. По-перше, виведено явнi формули для елементiв обернених матриць Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць. По-друге, використовуючи цi формули, побудовано скiнченний рекурсивний алгоритм, оптимальної обчислювальної складностi. Таким чином, запропоновано варiант обчислення оберненої матрицi Мура–Пенроуза для двудiагональних матриць, що не використовує сингулярний розклад.Посилання
- A. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses. Theory and Applications, 2nd ed. (Springer, New York, 2003).
- G. H. Golub and W. Kahan., “Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix”. SIAM J. Num. Anal., 2, 205–224. (1965)
- G. H. Golub and C. Reinsch, “Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions”. Numer. Math. 14, 403–420, (1970).
- G. H. Golub and Ch. F. van Loan, Matrix Computations, 3rd ed. (The John Hopkins University Press, 1996.) doi: https://doi.org/10.1007/bf02163027
- J. W. Lewis, “Invertion of tridiagonal matrices”. Numer. Math., 38, 333–345 (1982).
##submission.downloads##
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 Yuri Hakopian
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:
а) Автори зберігають за собою авторські права на твір на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License CC BY 4.0, котра дозволяє іншим особам вільно поширювати (копіювати і розповсюджувати матеріал у будь-якому вигляді чи форматі) та змінювати (міксувати, трансформувати, і брати матеріал за основу для будь-яких цілей, навіть комерційних) опублікований твір на умовах зазначення авторства.
б) Журнал дозволяє автору (авторам) зберігати авторські права без обмежень.
в) Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо поширення твору (наприклад, розміщувати роботу в електронному репозитарії), за умови збереження посилання на його першу публікацію. (Див. Політика Самоархівування)
г) Політика журналу дозволяє розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у репозитаріях) тексту статті, як до подання його до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
