Про наближенi розв’язки лiнiйних та нелiнiйних псевдодиференцiальних рiвнянь

Анотація

Поняття фрактала є однiєю з основних парадигм сучасної теоретичної та експериментальної фiзики, радiофiзики та радiолокацiї, а дробове числення є математичною основою фрактальної фiзики, геотермальної енергiї та космiчної електродинамiки та iнших. Ми дослiджуємо розв’язнiсть задачi Кошi для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Рiвняння мiстить дробову похiдну за часовою змiнною типу Рiмана–Лiувiлля, визначену Капуто, та псевдодиференцiальний оператор, який дiє за просторовими змiнними i побудований за однорiдним, невiд’ємного порядку однорiдностi, негладким у початку координат символом, достатньо гладким за межами початку координат. Неоднорiднiсть рiвняння залежить вiд часової i просторових змiнних та допускає перетворення Лапласа за часовою змiнною. Початкова умова мiстить обмежену функцiю. Мета: показати, що метод гомотопiчної пертурбацiї HPTM (homotopy perturbation transform method) легко застосовувати до лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї. Довести розв’язностi та отримання формули для розв’язку у виглядi ряду задачi Кошi для вказаних лiнiйних та нелiнiйних рiвнянь дифузiї. Методи. Задача розв’язується методом НPTM, який поєднує перетворення Лапласа (Laplaсe transform) за часовою змiнною i метод гомотопiчної пертурбацiї (HPM – homotopy perturbation method). Пiсля перетворення Лапласа отримуємо iнтегральне рiвняння, розв’язок якого шукаємо у виглядi ряду за степенями введеного параметра з невiдомими коефiцiєнтами. Пiсля пiдстановки введеної формули для розв’язку у iнтегральне рiвняння прирiвнюємо вирази бiля однакових степенiв параметра i отримуємо формули для невiдомих коефiцiєнтiв. При розв’язуваннi нелiнiйного рiвняння використовується спецiальний полiномiал, який входить в коефiцiєнти розкладу нелiнiйної функцiї i дозволяє застосувати метод гомотопiчної пертурбацiї i для нелiнiйного неоднорiдного псевдодиференцiального рiвняння дифузiї. Результатом є розв’язок задачi Кошi для дослiджуваного рiвняння дифузiї, який подається у виглядi ряду, членами якого є знайденi функцiї з параметричного ряду. В цiй працi вперше доведена розв’язнiсть та отримана формула для розв’язку задачi Кошi у виглядi ряду для лiнiйних та нелiнiйних неоднорiдних псевдодиференцiальних рiвнянь дифузiї.