Симуляцiя стохастичних дифузiйних процесiв i процесiв з «ринковим» часом

Анотація

У фiнансовiй математицi випадковiсть є панiвним критерiєм, який визначає внутрiшнiй характер ринкiв. У цьому випадку стохастичнiсть, як i броунiвський рух, є не просто незначною корекцiєю, а головним наближенням до реального процесу. Тобто, ми можемо сказати, що наш свiт не є детермiнованим, його реальна природа стохастична. Комп’ютерне моделювання поведiнки складних стохастичних систем та випадкових процесiв є обов’язковим iнструментом для будь-якого фiнансового аналiтика, а iнодi i єдиним способом дослiдження цих систем.
Методи моделювання процесiв стохастичної дифузiї є предметом активних дослiджень в останнi десятилiття. Деякi з них можна знайти в працях У. В. Козаченко, Г. Деодатiса та iнших. В контекстi нашого дослiдження ми використовуємо iдеї В. Л. Степанова та Дж. Халла. Але в бiльшостi публiкацiй, присвячених моделюванню стохастичних процесiв, проблема комп’ютерного моделювання процесiв iз заданою граничною щiльнiстю ймовiрностi та з новим ринковим часом не вивчалася.
Метою роботи було побудувати iтерацiйну схему i здiйснити комп’ютерне моделювання деяких процесiв дифузiї з наперед заданою граничною щiльнiстю та процесу руху ризикованих активiв, як процесу узагальненої дифузiї з «ринковим» часом.
Для симуляцiї стохастичних процесiв було використано iтерацiйну схему:

x_k+1 = x_k + a(x_k, t_k) ∆t + b(x_k, t_k) √ (∆t) ε_k,,

де ε_k кожного разу нове згенероване з нормальним розподiлом випадкове число.
Далi дослiджено засоби мов програмування для генерування випадкових чисел (рiвномiрно-розподiлених, нормально розподiлених). Здiйснено моделювання (симуляцiю) стохастичних дифузiйних процесiв; розраховано похибки обчислень та прискорення збiжностi, схеми Ейлера та Мiлстейна. Як приклад ми моделюємо випадковий процес Орнштейна-Уленбека для рiзних параметрiв.
На наступному етапi було запропоновано iтерацiйну схему та змодельовано дифузiйнi процеси iз заданою функцiєю щiльностi граничного розподiлу, а саме з оберненим гамма-розподiлом. Ця iтерацiйна схема базується на статтi Бiббi. Заключним етапом стало моделювання цiн акцiй iз новим «ринковим» часом. У запропонованiй iтерацiйнiй схемi цiн на акцiї ми використовуємо моделювання ринкових приростiв часу як дифузiйнi процеси з заданим граничним гамма-оберненим розподiлом.