Фракцiйне числення та його застосування у фiнансовiй математицi

Автор(и)

  • Дар’я Євгенiвна Зубрiцька Національний університет «Києво-Могилянська академія», Україна
  • Наталiя Юрiївна Щестюк Національний університет «Києво-Могилянська академія», Україна https://orcid.org/0000-0002-7652-8157
  • Дмитро Юрiйович Случинський Національний університет «Києво-Могилянська академія», Україна https://orcid.org/0009-0003-4178-1608

DOI:

https://doi.org/10.18523/2617-70807202424-34

Ключові слова:

фракцiйне числення, похiдна Рiмана-Лiувiлля, пiдхiд Ейлера, пiдхiд Рiмана-Лiувiлля, пiдхiд Капуто, субдифузiя, рiвняння Дюпiра, модель Блека-Шоулза, частковi iнтегро-диференцiальнi рiвняння, похiднi Джербашяна-Капуто, субордината

Анотація

Фракцiйне числення розширює класичне числення, дозволяючи диференцiювання та iнтегрування довiльного (нецiлого) порядку, що надає цiннi iнструменти для аналiзу складних систем. У цiй частинi роботи ми демонструємо основнi методи фракцiйного числення, зокрема пiдходи Ейлера, Рiмана-Лiувiлля та Капуто. Аналiзується поведiнка функцiй, таких як xn, eλx i sin(x), для фракцiйних порядкiв, що демонструє, як фракцiйне диференцiювання призводить до рiзних закономiрностей зростання та згасання.
У другiй частинi дослiджується застосування фрактальних похiдних у фiнансовiй математицi. Ми представляємо використання похiдної Рiмана-Лiувiлля для моделювання динамiки цiн акцiй на нелiквiдних ринках, де вартiсть активу може залишатися незмiнною протягом деякого часу. Для цього використовуються субдифузiйнi процеси та фрактальне iнтегро-диференцiальне рiвняння з похiдною Рiмана-Лiувiлля.
Iдея субдифузiйних моделей полягає в тому, щоб замiнити календарний час t у русi безризикової облiгацiї та класичному геометричному броунiвському русi (GBM) деяким стохастичним процесом Ht, який є моментом досягнення певного рiвня. Його можна iнтерпретувати як перший момент, коли процес Gt досягає бар’єру t.
Далi ми зосереджуємося на оцiнюваннi цiни європейського опцiону у випадку, коли базовий актив є нелiквiдним. Цiна опцiону визначається як розв’язок фрактального iнтегро-диференцiального рiвняння Дюпiра, в якому похiдна за часом замiнюється похiдною Джербашяна-Капуто (D–K). Похiдна D–K є узагальненням пiдходу Капуто. Форма похiдної D–K залежить вiд випадкового процесу Gt, який називають субординатою. Ми розглядаємо стандартний обернений гаусiвський процес iз параметрами (1,1) як субординату Gt i формулюємо твердження про вигляд фрактального рiвняння Дюпiра для вибраної субординати.
Завдяки запропонованим пiдходам iнвестор отримує iнструменти, що дозволяють йому враховувати нелiквiднiсть фiнансових ринкiв.

Біографії авторів

Дар’я Євгенiвна Зубрiцька, Національний університет «Києво-Могилянська академія»

випускниця бакалаврату, факультет iнформатики Нацiонального унiверситету «Києво-Могилянська академiя». Сфера наукових iнтересiв: дробове числення, фiнансова математика, програмне моделювання.

Наталiя Юрiївна Щестюк, Національний університет «Києво-Могилянська академія»

канд. фiз.-мат. наук, доцент кафедри математики Нацiонального унiверситету «Києво-Могилянська академiя». Сфера наукових iнтересiв: фiнансова математика, оцiнювання опцiонiв, оцiнки випадкових процесiв i полiв.

Дмитро Юрiйович Случинський, Національний університет «Києво-Могилянська академія»

аспiрант 1-го року навчання, спецiальнiсть «Прикладна математика» Нацiонального унiверситету «Києво-Могилянська академiя». Сфера наукових iнтересiв: фiнансова математика, ризик-менеджмент, застосування машинного навчання в фiнансовiй математицi.

Посилання

  1. S. Alshammari, N. Iqbal and M. Yar, Journal of Function Spaces. 2022, 1–12.
  2. K. Assaleh and W. M. Ahmad, in: 2007 9th International Symposium on Signal Processing and Its Applications (ISSPA), Sharjah, United Arab Emirates, February 12–15, 2007, pp. 1–4.
  3. Black-Scholes formula, Encyclopedia of Finance, URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Black-Scholes_formula&oldid=50024
  4. A. Hayes, What is the BlackScholes model? Investopedia, URL: https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp
  5. M. Ishteva, R. Scherer, L. Boyadjiev, Mathematical Sciences Research Journal. 9 (6), 5–7 (2025).
  6. M. Magdziarz, Journal of Statistical Physics.136 (3), 553–564 (2009).
  7. M. Magdziarz, S. Orzel and A. Weron, Journal of Statistical Physics. 145 (1), 187–203 (2011).
  8. R. Metzler and J. Klafter, Physics Reports. 339 (1), 1–77 (2000).
  9. D. Mehdi and B. Majid, Applied Mathematical Sciences. 4 (21), 1–4 (2010).
  10. I. Podlubny, Fractional Calculus and Applied Analysis. 5 (4), 367–386 (2002).
  11. E. Soczkiewicz, Molecular and Quantum Acoustics. 23, 397–404 (2002).
  12. F. B. Tatom, Fractals. 3 (1), 217–229 (1995).
  13. M. M. Dzherbashian and A. B. Nersesian, Fractional Calculus and Applied Analysis. 23, 1810–1836 (2020).
  14. M. Caputo, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 13, 529– 539 (1967).
  15. M. Haugh, in: IEOR E4707: Financial Engineering: Continuous-Time Models (2013).
  16. P. Vellaisamy and A. Kumar, ArXiv. 1105.1468 (2011).
  17. B. Jørgensen, Lecture Notes in Statistics. 9, 188 (2012).
  18. A. Kumar and P. Vellaisamy, Statistics and Probability Letters. 103, 134–141 (2015).
  19. O. Nikan, J. Rashidinia, and H. Jafari, Alexandria Engineering Journal. 112, 235–245 (2024).
  20. H. Donatien and N. N. Leonenko, Journal of Computational and Applied Mathematics. 381, Article 112995 (2021).
  21. N. Shchestyuk and S. Tyshchenko, Modern Stochastics: Theory and Applications. 12 (2), 136–152 (2025).
  22. N. Shchestyuk, S. Drin, and S. Tyshchenko, in: Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance: Conference proceedings: International Conference of the Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance (MAF 2024) (Le Havre, France, Springer, Cham, 2024), pp. 286–291.
  23. V. Pauk, O. Petrenko, and N. Shchestyuk, Mohyla Mathematical Journal. 5, 38–45 (2022).
  24. N. Shchestyuk and S. Tyshchenko, Bulletin of the Taras Shevchenko National University of Kyiv. Physics and Mathematics. 2, 85–92 (2021).

##submission.downloads##

Опубліковано

2025-05-12

Номер

Том 7 (2024): Могилянський математичний журнал

Розділ

Статті

Ліцензія

Авторське право (c) 2024 D. Zubritska, N. Shchestyuk, D. Sluchynskyi

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з такими умовами:

а) Автори зберігають за собою авторські права на твір на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License CC BY 4.0, котра дозволяє іншим особам вільно поширювати (копіювати і розповсюджувати матеріал у будь-якому вигляді чи форматі) та змінювати (міксувати, трансформувати, і брати матеріал за основу для будь-яких цілей, навіть комерційних) опублікований твір на умовах зазначення авторства.

б) Журнал дозволяє автору (авторам) зберігати авторські права без обмежень.

в) Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо поширення твору (наприклад, розміщувати роботу в електронному репозитарії), за умови збереження посилання на його першу публікацію. (Див. Політика Самоархівування)

г) Політика журналу дозволяє розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у репозитаріях) тексту статті, як до подання його до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).