Аналiз умов поширення хвиль у двошаровiй гiдродинамiчнiй системi з вiльною поверхнею

Анотація

У дослiдженнi розглянуто задачу про поширення внутрiшнiх та поверхневих хвиль в двошаровiй гiдродинамiчнiй системi «пiвпростiр - шар - шар з вiльною поверхнею». Представлено математичну модель в лiнiйному наближеннi. Проблема дослiдження сформульована в припущеннi, що рiдини є iдеальними та нестисливими. Математична постановка задачi наведена в безрозмiрному виглядi. Знайдено вирази для вiдхилення поверхнi контакту η1(x, t) та вiльної поверхнi η2(x, t) у виглядi бiжучих хвиль. Отримано в аналiтичному виглядi вирази для потенцiалiв ϕ1(x, z, t) та ϕ2(x, z, t), градiєнти яких описують швидкостi поширення в шарах Ω1 та Ω2 вiдповiдно. Виведено дисперсiйне спiввiдношення, яке пов’язує мiж собою хвильове число та частоту поширення хвилi. Знайдено коренi дисперсiйного спiввiдношення, якi є частотами поширення хвиль на поверхнi контакту та на вiльнiй поверхнi. Проведено аналiз коренiв дисперсiйного спiввiдношення в залежностi вiд геометричних та фiзичних параметрiв системи. Зокрема, проаналiзовано залежнiсть частот поширення хвиль вiд хвильового числа без урахування поверхневого натягу.
Проведене дослiдження свiдчить, що в умовах вiдсутностi поверхневого натягу (T1 = T2 = 0) вiдношення густин ρ виступає як визначальний параметр, що керує як кiлькiсними, так i якiсними характеристиками хвильових мод у розглядуванiй системi. Було виявлено перехiд вiд класичного стану системи з чiтко роздiленими швидкою поверхневою та повiльною внутрiшньою модами до режиму їхньої iнверсiї, що є суттєвим результатом для глибшого розумiння динамiки рiдин iз значною стратифiкацiєю.
Врахування сил поверхневого натягу розкриває комплексну взаємодiю мiж ефектами стратифiкацiї за густиною та капiлярнiстю. Капiлярнi сили призводять до iстотного зростання хвильових частот i можуть стати домiнантним фактором для внутрiшнiх мод, фактично нейтралiзуючи вплив змiн густини. Разом з тим встановлено, що вiдношення густин ρ зберiгає свою роль ключового параметра, який визначає якiсну структуру мод, включно з можливiстю їхньої повної iнверсiї в умовах сильної стратифiкацiї рiдини.