Могилянський математичний журнал

Готфрiд Лейбнiц i створення диференцiального числення

Катерина Пилипiвна Федоровська — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

У статтi розглядається внесок Готфрiда Вiльгельма Лейбнiца у створення диференцiального числення в контекстi його фiлософської системи. Дослiджено взаємозв’язок мiж метафiзичною концепцiєю монад та математичним поняттям нескiнченно малих величин. Проаналiзовано публiкацiю «Nova methodus pro maximis et minimis» 1684 року як першу друковану працю з диференцiального числення. Висвiтлено особливостi лейбнiцiвського пiдходу до математичного аналiзу, його нотацiю та методологiю. Розглянуто iсторичну суперечку щодо прiоритету винаходу числення мiж Лейбнiцем та Ньютоном. Показано вплив фiлософських iдей Лейбнiца на формування сучасного математичного аналiзу.

Про розв’язнiсть задачi пошуку нерухомої точки вiдображення в просторах багатовимiрних послiдовностей

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

The article addresses the problem of finding fixed points for mappings in spaces of multidimensional sequences. The authors formulate and prove a fundamental theorem establishing the existence and uniqueness of a solution to the equation of the form x = h + Ax, where A is a linear operator acting in a Banach space endowed with a countable system of seminorms. These seminorms are consistent with the norm of the space and satisfy monotonicity and boundedness conditions.
By applying the method of successive approximations, the convergence of the corresponding iterative process is analyzed. The study demonstrates that the infinite series arising from the iterative scheme converges, providing an explicit representation of the solution. Furthermore, norm estimates for the solution are derived, showing that the operator under consideration is bounded. The uniqueness of the solution is rigorously established by proving that the associated homogeneous equation admits only the trivial solution under the stated assumptions.
The results presented in this paper extend the classical fixed-point theory into the framework of multidimensional sequence spaces, thereby contributing both to the theory of functional analysis and to applications. In particular, the developed approach is relevant for the study of discrete and continuous dynamical systems, the analysis of stochastic processes, and the design of models in optimal control theory, where identifying stationary states plays a central role.
Overall, the article provides a mathematically rigorous foundation for addressing solvability questions in spaces with complex structures. It enriches the theoretical toolbox available for researchers working on applied problems involving high-dimensional or structured state spaces, thereby opening perspectives for further studies in modern analysis and its applications.

Про деякi властивостi майже перiодичних функцiй

Олексiй Iванович Кашпiровський, Юрiй Васильович Митник — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Дослiджуються достатнi умови показникiв λn та коєфiцiєнтiв Фур’є, при виконаннi яких майже перiодичнi функцiї f(t) з простору Безиковича B2 неперервнi, неперервно-диференцiйовнi та голоморфнi.
У випадку показникiв λn, що мають степеневу асимптотику λn = L(nα + εn), де L ∈ R1, α > 0, εn → 0 при n → +∞ отримано аналог теореми Соболєва про вкладення.
Для показникiв λn, що за n → +∞ зростають повiльнiше довiльного додатного степеня n, описано клас функцiй з простору Безиковича B2, що мають аналiтичне продовження у пiвплощину Re s > a ≥ 0. До таких функцiй належить дзета-функцiя Рiмана ζ(s).
Для функцiй з B2, у яких показники λn прямують до нуля, встановленi достатнi умови аналiтичного продовження до цiлих функцiй 1-го експоненцiального порядку.

Спектральнi вiдновлювальнi числа графiв C3 + e та K4 − e

Лариса Миколаївна Тимошкевич, Карина Сергiївна Чернявська — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

У статтi дослiджено обернену спектральну задачу для зважених графiв. Розглянуто проблему вiдновлення додатних ваг ребер графа за спектрами його iндукованих пiдграфiв. Основну увагу придiлено знаходженню точного значення спектрального вiдновлювального числа Srn(G) для графiв Srn(C3 + e) та Srn(K4 − e) — мiнiмальної кiлькостi спектрiв iндукованих пiдграфiв, необхiдних для однозначного вiдновлення всiх ваг ребер графа.
Отриманi результати завершують визначення спектральних вiдновлювальних чисел для всiх зв’язних графiв порядку не бiльш як чотири. Вони можуть бути використанi для подальших дослiджень обернених спектральних задач та розробки алгоритмiв вiдновлення ваг на ребрах графiв.

Поточне прогнозування ВВП за допомогою моделей факторiв зi змiшаною частотою для українських регiонiв

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Своєчасна оцiнка регiональної економiчної активностi є ключовою для прийняття обґрунтованих рiшень та реагування на кризовi ситуацiї, особливо в економiках, де офiцiйна статистика публiкується iз суттєвими затримками. В Українi данi про валовий регiональний продукт (ВРП) оприлюднюються лише один раз на рiк iз запiзненням до 16 мiсяцiв, що значно ускладнює монiторинг економiчної ситуацiї в реальному часi. У цьому дослiдженнi запропоновано модель Mixed-Frequency Factor-Augmented Vector Autoregression (MF-FAVAR) для теперiшнього прогнозування (nowcasting) квартального зростання ВРП для київського регiону шляхом поєднання рiчних, квартальних i мiсячних показникiв.
Запропонована структура iнтегрує традицiйнi макроекономiчнi статистичнi показники з високочастотними цифровими сигналами, отриманими з Google Trends, що дає змогу вiдстежувати змiни у споживчих настроях та поведiнкових патернах. Цi цифровi iндикатори виступають проксi змiн у споживчих настроях, намiрах щодо витрат i очiкуваннях на ринку працi, надаючи додаткову iнформацiю порiвняно з офiцiйною статистикою, що публiкується iз затримкою. Зменшення розмiрностi даних здiйснюється за допомогою сучасних методiв факторної екстракцiї, розроблених для неповних i неузгоджених наборiв даних, зокрема Expectation–Maximisation Principal Component Analysis (EMPCA), Bayesian PCA (BPCA) та Singular Value Decomposition Imputation (SVDI). Рiчний ряд ВРП було перетворено на квартальний за допомогою методу Дентона–Шолетта, що забезпечує узгодженiсть з офiцiйними пiдсумками.
Емпiричнi результати показують, що факторна екстракцiя на основi EMPCA забезпечує найстабiльнiшi та найточнiшi коротко-, середньо- та довгостроковi прогнози. Зокрема, EMPCA досягає найменших значень середньоквадратичної похибки прогнозу (RMSFE) та безперервного рангового ймовiрнiсного показника (CRPS), що пiдтверджує її стiйкiсть у умовах обмежених i зашумлених даних. Отриманi результати свiдчать, що моделi зi змiшаною частотою та факторною структурою є ефективним iнструментом для регiонального nowcasting за умов нестачi даних, що робить їх особливо релевантними для перехiдних i кризових економiк, таких, як Україна.

Iтеративна оптимiзацiя попиту з використанням методу дискретних функцiональних частинок

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

У статтi розглянуто проблему планування асортименту в роздрiбнiй торгiвлi за умов невизначеного попиту та операцiйних обмежень. Розроблено гiбридну методологiю, що поєднує прогнозування часових рядiв за допомогою SARIMAX та оптимiзацiю методом дискретних функцiональних частинок (DFPM), що забезпечує як стратегiчну (довгострокову), так i тактичну (щомiсячну) пiдтримку прийняття рiшень.
Запропонована структура iнтегрує статистичне прогнозування з iтеративною оптимiзацiєю для досягнення балансу мiж точнiстю прогнозу та практичною реалiзовуванiстю. На етапi прогнозування модель SARIMAX iз зовнiшнiми регресорами враховує сезоннiсть, акцiйнi активностi та коливання попиту, тодi як механiзм «запобiжного бар’єра» захищає вiд надмiрно песимiстичних прогнозiв. На етапi оптимiзацiї DFPM застосовується до квадратичної задачi з лiнiйними обмеженнями, причому параметри пiдбираються за допомогою спектрального аналiзу матрицi ризику. Уводиться нова метрика операцiйного ризику — коефiцiєнт ефективностi запасiв, визначений як вiдношення вартостi залишкiв до доходу, який використовується для побудови коварiацiйної структури оптимiзацiї.
Гiбридна стратегiя поєднує математично оптимальне рiшення з базовим розподiлом, отриманим з iсторичних даних, що забезпечує одночасно стабiльнiсть i пiдвищення ефективностi. Тактичнi коригування вдосконалюють стратегiчне рiшення шляхом урахування сезонних iндексiв та бiзнес-обмежень.
Методологiю реалiзовано в Python та перевiрено на реальних даних українського ритейлера антистрес-iграшок. Результати показують зниження операцiйного ризику на 25% та триразове зростання оборотностi запасiв за збереження реалiстичних прогнозiв доходу.
Загалом, робота пропонує гнучку та вiдтворювану методологiю пiдтримки рiшень, яка об’єднує сучаснi методи прогнозування й оптимiзацiї, надаючи практикам iнструмент для пiдвищення ефективностi управлiння асортиментом у динамiчних умовах роздрiбного ринку.

Стохастичний експеримент для деяких узагальнень проблеми секретаря

Дмитро Леонiдович Мельник, Наталiя Юрiївна Щестюк, Юрiй Олексiйович Захарiйченко — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Портфельна оптимiзацiя для реальних даних: пiдходи та виклики

Анастасiя Андрiївна Бурдим, Євгенiя Андрiївна Данилюк, Наталiя Юрiївна Щестюк — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Теорiя портфельної оптимiзацiї продовжує бути динамiчною галуззю у фiнансах, iнтегруючи новi теорiї та пiдходи для кращого задоволення потреб iнвесторiв. З розвитком фiнансових ринкiв розвиватимуться й новi пiдходи для оптимiзацiї портфелiв, що робить цей напрям сприятливим для появи нових дослiджень та iнновацiй.
Класичний пiдхiд Марковiца базується на оптимiзацiї функцiї, яка кiлькiсно визначає компромiс мiж ризиком (дисперсiєю) та очiкуваною дохiднiстю. Проте цей пiдхiд має деякi обмеження. Зокрема, вiн припускає, що iнвестори рацiональнi, їхнє ставлення до ризику регулюється деяким параметром, ринки ефективнi, а дохiднiсть активiв розподiлена нормально. У вiдповiдь на обмеження теорiї Марковiца з’явився iнший пiдхiд, що визнає певну асиметрiю, тобто iнвестори бiльше стурбованi потенцiйними збитками, нiж прибутками. Цей пiдхiд базується на мiнiмiзацiї так званого показника величини ризику Value-at-Risk. Незважаючи на досягнення класичної теорiї Марковiца та пiдходу мiнiмiзацiї VaR-показника, залишаються виклики, пов’язанi з проблемами оцiнки параметрiв, можливiстю появи сингулярної оцiночної коварiацiйної матрицi та управлiнням ризиками на волатильних ринках.
У цiй статтi ми розглядаємо побудову оптимальних портфелiв як за пiдходом Марковiца, так i за мiнiмiзацiєю показника величини ризику, а також враховуємо випадок, коли коварiацiйна оцiночна матриця є сингулярною. Ми використовуємо псевдообернений метод Мура—Пенроуза та розкладання за сингулярним значенням (SVD) для пошуку рiшень. Ми застосовуємо цi пiдходи та методики до реальних фiнансових даних, будуємо оптимальнi портфелi за двома пiдходами, порiвнюємо динамiку змiни дохiдностi, варiатичностi i показника ризику для цих оптимальних портфелей мiж собою i з динамiкою рiвномiрного портфеля.
Завдяки запропонованим пiдходам iнвестор отримує iнструмент, який дозволяє йому приймати рiшення щодо вибору пiдходу при побудовi оптимального портфеля, а також враховувати сингулярнiсть коварiацiйної матрицi.

Оптимальнiсть останнього моменту часу в рiвномiрнiй однокульовiй безшумнiй дуелi з масштабованою експоненцiально-опуклою влучнiстю

Вадим Васильович Романюк — пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Рiвномiрна однокульова безшумна дуель з масштабованою експоненцiально-опуклою влучнiстю виграшiв є симетричною матричною грою, чиє оптимальне значення дорiвнює 0, а кожен з дуелянтiв має однакову оптимальну поведiнку, хай вона у чистих або у змiшаних стратегiях. Такi дуелi моделюють двосторонню змагальницьку взаємодiю, де метою є здобуття винагороди за якомога кращого рiшення у квантованому часi. Доведено, що останнiй момент часу є оптимальним у дуелi з N моментами часу лише тодi, коли коефiцiєнт влучностi не перевищує граничного значення e−e N−2 / N−1 / N−2 e N−1 −1. Якщо коефiцiєнт влучностi падає нижче цього граничного значення, останнiй момент часу є єдиним оптимальним. Якщо коефiцiєнт влучностi точно рiвний цьому граничному значенню, дуелянт має два оптимальнi моменти часу: передостаннiй та останнiй. Умови оптимальностi останнього моменту часу можуть накладатися для того, щоб змусити дуелянта дiяти якомога пiзнiше, що є достатньо корисним у деяких налаштуваннях блокчейну, де учасники (наприклад, валiдатори або майнери) обирають, коли спробувати пропонувати блок або вставку трансакцiї за умов невизначеностi.

Машинне навчання на основi PINN для моделювання внутрiшнiх хвиль у напiвнескiнченних рiдинах

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

У роботi розглядається застосування фiзично iнформованих нейронних мереж (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) для моделювання хвильових процесiв на межi подiлу двох нестисливих рiдин з рiзною густиною. На першому етапi дослiдження вивчається лiнiйна постановка задачi, яка допускає аналiтичний розв’язок на основi спектрального методу з розкладом початкового збурення у ряд Фур’є. Це розв’язання використовується для тестування та валiдацiї точностi передбачень моделi PINN.
Програмну реалiзацiю виконано мовою Python iз використанням спецiалiзованих бiблiотек TensorFlow, NumPy, SciPy та Matplotlib, що забезпечують як ефективне створення архiтектур глибинного навчання, так i чисельне розв’язання задач математичної фiзики. Запропонований пiдхiд поєднує можливостi штучного iнтелекту з галузевими знаннями в галузi гiдродинамiки, що дає змогу будувати iнтерпретованi та фiзично обґрунтованi моделi. Особливу увагу придiлено органiзацiї експерименту, автоматизацiї вiзуалiзацiї та збереженню промiжних результатiв для подальшого аналiзу. Реалiзацiя PINN включає формулювання функцiї втрат, яка вiдображає фiзичнi рiвняння та граничнi умови, а навчання нейромережi здiйснюється на випадковiй вибiрцi точок у просторово-часовiй областi. Проаналiзовано вплив архiтектури моделi та параметрiв навчання на точнiсть розв’язання. Вiзуалiзацiя iсторiї втрат i передбачених профiлiв хвиль дозволяє оцiнити збiжнiсть та фiзичну адекватнiсть отриманого розв’язання.
Наведено порiвняння результатiв моделювання PINN з аналiтичним розв’язком у рiзнi моменти часу, виявлено особливостi фазових i амплiтудних вiдхилень. Зафiксовано високу вiдповiднiсть розв’язкiв на початкових етапах i поступове накопичення похибок у часi, що є типовим для подiбних моделей. Отриманi результати пiдтверджують придатнiсть пiдходу PINN для задач лiнiйної гiдродинамiки, закладаючи пiдґрунтя для подальшого поширення на слабко- та сильнонелiнiйнi режими, дослiдження стiйкостi та динамiки нелiнiйних хвиль.

Аналiз умов поширення хвиль у двошаровiй гiдродинамiчнiй системi з вiльною поверхнею

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

У дослiдженнi розглянуто задачу про поширення внутрiшнiх та поверхневих хвиль в двошаровiй гiдродинамiчнiй системi «пiвпростiр - шар - шар з вiльною поверхнею». Представлено математичну модель в лiнiйному наближеннi. Проблема дослiдження сформульована в припущеннi, що рiдини є iдеальними та нестисливими. Математична постановка задачi наведена в безрозмiрному виглядi. Знайдено вирази для вiдхилення поверхнi контакту η1(x, t) та вiльної поверхнi η2(x, t) у виглядi бiжучих хвиль. Отримано в аналiтичному виглядi вирази для потенцiалiв ϕ1(x, z, t) та ϕ2(x, z, t), градiєнти яких описують швидкостi поширення в шарах Ω1 та Ω2 вiдповiдно. Виведено дисперсiйне спiввiдношення, яке пов’язує мiж собою хвильове число та частоту поширення хвилi. Знайдено коренi дисперсiйного спiввiдношення, якi є частотами поширення хвиль на поверхнi контакту та на вiльнiй поверхнi. Проведено аналiз коренiв дисперсiйного спiввiдношення в залежностi вiд геометричних та фiзичних параметрiв системи. Зокрема, проаналiзовано залежнiсть частот поширення хвиль вiд хвильового числа без урахування поверхневого натягу.
Проведене дослiдження свiдчить, що в умовах вiдсутностi поверхневого натягу (T1 = T2 = 0) вiдношення густин ρ виступає як визначальний параметр, що керує як кiлькiсними, так i якiсними характеристиками хвильових мод у розглядуванiй системi. Було виявлено перехiд вiд класичного стану системи з чiтко роздiленими швидкою поверхневою та повiльною внутрiшньою модами до режиму їхньої iнверсiї, що є суттєвим результатом для глибшого розумiння динамiки рiдин iз значною стратифiкацiєю.
Врахування сил поверхневого натягу розкриває комплексну взаємодiю мiж ефектами стратифiкацiї за густиною та капiлярнiстю. Капiлярнi сили призводять до iстотного зростання хвильових частот i можуть стати домiнантним фактором для внутрiшнiх мод, фактично нейтралiзуючи вплив змiн густини. Разом з тим встановлено, що вiдношення густин ρ зберiгає свою роль ключового параметра, який визначає якiсну структуру мод, включно з можливiстю їхньої повної iнверсiї в умовах сильної стратифiкацiї рiдини.

Пам’ятi Юрiя Вiкторовича Боднарчука

пн, 22 гру 2025 00:00:00 +0200

Пам’ятi Юрiя Вiкторовича Боднарчука (13.10.1955–12.07.2013)