Могилянський математичний журнал

Схема розподiлу секрету, що базується на криптосистемi Голдвассер-Голдрiха-Халевi

Артемiй Дмитрович Лiхачов, Богдана Вiталiївна Олiйник — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

З розвитком квантових технологiй стає актуальним питання про дослiдження та впровадження криптографiчних примiтивiв, що базуються на складних задачах для квантових обчислень. Такi криптографiчнi примiтиви є стiйкими щодо квантового криптоаналiзу. Прикладом задач, що мають експоненцiйну складнiсть для квантових обчислень, є задачi на решiтках, такi як пошук найкоротшого вектора або пошук найближчого вектора. Однiєю з перших i найвiдомiших квантово-стiйких криптосистем, що в основi свого математичного апарату використовує задачi на решiтках, є криптосистема Голдвасcер-Голдрiха-Халевi.
Схема розподiлення секрету є фундаментальним криптографiчним примiтивом, що допускає розподiлення секрету мiж множиною учасникiв, при цьому вiдновлення секрету можливе тiльки при авторизацiї всiх або певної частини учасникiв (порогу учасникiв). Також необхiдною умовою схеми розподiлення секрету є неможливiсть окремих учасникiв, або груп учасникiв, кiлькiсть яких менша за порiг, вiдновити секрет.
Варiанти побудови схем розподiлу секрету на рiзних математичних моделях, у тому числi на решiтках, наразi активно дослiджуються, оскiльки вони дозволяють проводити надiйнi багатостороннi обчислення, безпечно поширювати iнформацiю шляхом поширення i розподiлення оригiналу даних мiж рiзними серверами, для побудови компiляторов схем iз захистом вiд витоку тощо. У цiй роботi запропоновано нову квантово-стiйку n-порогову схему розподiлу секрету для n учасникiв, що базується на криптосистемi Голдвасcер-Голдрiха-Халевi.

Вiдновлююче спектральне число графа K4

Олександр Сергiйович Аверкiн, Лариса Миколаївна Тимошкевич — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Статтю присвячено дослiдженню обернених спектральних задач для зважених графiв. Розглянуто задачу щодо вiдновлення ваг на множинi ребер графа за спектрами його iндукованих пiдграфiв.
Завдяки широкому колу застосувань, оберненi спектральнi задачi активно вивчають для рiзних класiв матриць: зазвичай вони зводяться до вiдновлення матрицi (або її частини) за спектром самої матрицi чи її пiдматриць. Наша задача стосується класу нерозкладних симетричних матриць з невiд’ємними елементами та нулями на головнiй дiагоналi — матриць сумiжностi зв’язних зважених графiв.
Ключовим поняттям цiєї роботи є вiдновлююче спектральне число графа Srn(G) — мiнiмальна кiлькiсть спектрiв iндукованих пiдграфiв, необхiдних для однозначного вiдновлення всiх ваг ребер графа G. Головним результатом дослiдження є знаходження точного значення Srn(K4) для повного графа на чотирьох вершинах. Одержанi результати та використанi у роботi методи можуть бути застосованi в подальших дослiдженнях, зокрема для визначення точних значень вiдновлюючого спектрального числа iнших графiв.

Про деякi застосування керованих випадкових полiв з локальною структурою взаємодiї

Руслан Костянтинович Чорней — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

У статтi розглянуто керованi випадковi поля з локальною структурою взаємодiї та їхнi застосування. Основну увагу придiлено питанням застосування оптимального керування випадковими системами на графах, зокрема в аналiзi ризику катастроф, моделюваннi соцiальних мереж та психометричному мережевому аналiзi. Описано математичнi пiдходи, що дозволяють формалiзувати та вирiшувати задачi стохастичної оптимiзацiї в таких системах. Результати роботи можуть бути застосованi в економiцi, кiбербезпецi, соцiальних науках та iнших сферах.

Фракцiйне числення та його застосування у фiнансовiй математицi

Дар’я Євгенiвна Зубрiцька, Наталiя Юрiївна Щестюк, Дмитро Юрiйович Случинський — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Фракцiйне числення розширює класичне числення, дозволяючи диференцiювання та iнтегрування довiльного (нецiлого) порядку, що надає цiннi iнструменти для аналiзу складних систем. У цiй частинi роботи ми демонструємо основнi методи фракцiйного числення, зокрема пiдходи Ейлера, Рiмана-Лiувiлля та Капуто. Аналiзується поведiнка функцiй, таких як xn, eλx i sin(x), для фракцiйних порядкiв, що демонструє, як фракцiйне диференцiювання призводить до рiзних закономiрностей зростання та згасання.
У другiй частинi дослiджується застосування фрактальних похiдних у фiнансовiй математицi. Ми представляємо використання похiдної Рiмана-Лiувiлля для моделювання динамiки цiн акцiй на нелiквiдних ринках, де вартiсть активу може залишатися незмiнною протягом деякого часу. Для цього використовуються субдифузiйнi процеси та фрактальне iнтегро-диференцiальне рiвняння з похiдною Рiмана-Лiувiлля.
Iдея субдифузiйних моделей полягає в тому, щоб замiнити календарний час t у русi безризикової облiгацiї та класичному геометричному броунiвському русi (GBM) деяким стохастичним процесом Ht, який є моментом досягнення певного рiвня. Його можна iнтерпретувати як перший момент, коли процес Gt досягає бар’єру t.
Далi ми зосереджуємося на оцiнюваннi цiни європейського опцiону у випадку, коли базовий актив є нелiквiдним. Цiна опцiону визначається як розв’язок фрактального iнтегро-диференцiального рiвняння Дюпiра, в якому похiдна за часом замiнюється похiдною Джербашяна-Капуто (D–K). Похiдна D–K є узагальненням пiдходу Капуто. Форма похiдної D–K залежить вiд випадкового процесу Gt, який називають субординатою. Ми розглядаємо стандартний обернений гаусiвський процес iз параметрами (1,1) як субординату Gt i формулюємо твердження про вигляд фрактального рiвняння Дюпiра для вибраної субординати.
Завдяки запропонованим пiдходам iнвестор отримує iнструменти, що дозволяють йому враховувати нелiквiднiсть фiнансових ринкiв.

Розширення можливостей Paint Transformer з генеруванням мазкiв пензля за допомогою GAN

Михайло Хельгович Поляков, Надiя Олександрiвна Швай — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Нейронне малювання створює послiдовнiсть мазкiв для заданого зображення i художньо вiдтворює його за допомогою нейронних мереж. У цiй статтi ми дослiджуємо нову архiтектуру, основану на Transformer, пiд назвою Paint Transformer, яка прогнозує параметри набору мазкiв за допомогою прямопрохiдної нейронної мережi. Paint Transformer забезпечує кращi результати малювання порiвняно з попереднiми методами, маючи нижчi витрати на навчання та використання. У статтi також пропонується нове розширення Paint Transformer, яке додає бiльш складнi мазки, згенерованi GAN, для досягнення бiльш художнього та абстрактного стилю малювання, нiж оригiнальний метод.

Робастна модель баєсiвської регресiї у формi Бернштейна

Олег Юрiйович Митник — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Тут представлений iндуктивний метод побудови робастних моделей баєсiвської полiномiальної регресiї (БПР) у формi Бернштейна, що отримав назву ПРIАМ. ПРIАМ – це алгоритм, призначений для визначення стохастичної залежностi мiж змiнними. Трикомпонентна природа ПРIАМ поєднує переваги баєсiвського висновку, прозорiсть та лiнгвiстичну iнтерпретовнiсть нейронечiтких моделей у формi Бернштейна, робастнiсть методу опорних векторiв.
Алгоритм апробовано на вiдомих штучних наборах даних, а також на реальних моделях рiзного розмiру та рiвня зашумленостi. Складено рейтинг, який демонструє переваги запропонованого алгоритму за бiльшiстю метрик.

Вiдхилення поверхнi контакту двох рiдких напiвпросторiв з поверхневим натягом: багатомасштабний пiдхiд

Ольга Валентинiвна Авраменко — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Ця стаття присвячена дослiдженню вiдхилення поверхнi контакту мiж двома напiвнескiнченними рiдинами пiд впливом сил поверхневого натягу та гравiтацiї з використанням багатомасштабного аналiзу. Початково-крайова задача базується на ключових безрозмiрних параметрах, зокрема на вiдношеннi густин i коефiцiєнтi поверхневого натягу, для опису генерацiї та поширення хвильових пакетiв уздовж поверхнi контакту. За допомогою слабко нелiнiйної моделi дослiджують початковi вiдхилення поверхнi контакту, що дозволяє отримати iнтегральнi розв’язки для як лiнiйного, так i нелiнiйного наближень. Лiнiйне наближення описує основну структуру прямої та зворотної хвиль, тодi як нелiнiйнi поправки враховують ефекти вищого порядку, якi виводяться за допомогою багатомасштабних розкладiв. Цi поправки характеризують еволюцiю обвiдної хвильового пакета, виявляючи взаємодiю мiж дисперсiєю, нелiнiйнiстю та поверхневим натягом. Надаються iнтегральнi вирази для лiнiйних i нелiнiйних розв’язкiв, зокрема таких, що демонструють роль парних i непарних початкових вiдхилень поверхнi контакту. Порiвняння мiж лiнiйним i нелiнiйним наближеннями пiдкреслюють їх взаємозв’язок. Лiнiйна модель встановлює основну динамiку хвиль, тодi як нелiнiйнi члени додають гармонiки вищого порядку, уточнюючи розв’язки i дозволяючи проводити аналiз стiйкостi. Цi результати виявляють суттєвi внески вiд гармонiк вищого порядку у визначення динамiки поверхнi контакту. Крiм того, у дослiдженнi розглянуто умови, за яких нелiнiйна обвiдна залишається стiйкою, зокрема обмеження на початковi амплiтуди, щоб запобiгти виникненню нестiйкостi. Дослiдження вiдкриває новi перспективи для подальшого аналiзу стiйкостi та динамiки хвиль на межi подiлу рiдин за допомогою символьних обчислень. Потенцiйнi застосування передбачають подальше вивчення поведiнки хвиль за рiзних геометричних параметрiв системи та властивостей рiдин. Отриманi результати сприяють розвитку моделювання гiдродинамiчних хвиль i закладають основу для подальших дослiджень у цiй галузi.

Нелiнiйне поширення хвильових пакетiв при хвильових числах, близьких до критичного, в двошаровiй гiдродинамiчнiй системi скiнченної глибини

Володимир Володимирович Нарадовий — пн, 12 тра 2025 00:00:00 +0300

Розглянуто задачу про поширення слабконелiнiйних хвильових пакетiв у двошаровiй гiдродинамiчнiй системi «шар з твердим дном — шар з кришкою». Для дослiдження та аналiзу використано метод багатомасштабних розвинень (МБР) до третього порядку, що дає можливiсть отримати першi наближення дослiджуваної моделi, якi є лiнiйними вiдносно невдомих функцiй, що є доданками у вiдповiдних розкладах. У результатi вдається отримати еволюцiйне рiвняння обвiдної хвильових пакетiв у формi нелiнiйного рiвняння Шредiнгера. Коли частота центру хвильового пакету близька до нуля, отриманi з МБР результати не можуть бути використанi для моделювання хвильових рухiв у дослiджуванiй системi. В статтi розглянуто граничний випадок поширення хвильових пакетiв при навколокритичних хвильових числах. На основi дисперсiйного спiввiдношення та умов розв’язуваностi другого та третього наближень встановлено, що поширення хвильових пакетiв при хвильових числах, близьких до критичного, описується нелiнiйним рiвнянням Шредiнгера. Отримане рiвняння мiстить першу похiдну за просторовою координатою та двi похiднi за часовою координатою i може бути поширеним на всi хвильовi числа. Також виведено спiввiдношення мiж хвильовим числом та малим параметром.